Calculando A Variação Da Resistência Em Um Fio De Prata

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Calculando a Variação da Resistência em um Fio de Prata

Olá, pessoal! Vamos mergulhar em um problema clássico de física que aparece bastante no ENEM: como calcular a variação da resistência de um condutor quando a temperatura muda. Especificamente, vamos analisar um fio de prata com 5 km de comprimento e uma área de seção transversal de 2 mm², submetido a uma temperatura de 250°C. A pegada aqui é que, para simplificar, vamos ignorar a dilatação térmica (a mudança no tamanho do fio) e focar apenas na mudança da resistividade, que é a propriedade do material de se opor à passagem da corrente elétrica. Preparados? Vamos nessa!

Entendendo a Resistência Elétrica e a Resistividade

Primeiro, vamos relembrar alguns conceitos-chave. A resistência elétrica (R) de um condutor é a oposição que ele oferece à passagem da corrente elétrica. Ela é medida em ohms (Ω). A resistência de um fio depende de três fatores principais: o comprimento do fio (L), a área da seção transversal (A) e a resistividade (ρ) do material. A resistividade é uma propriedade intrínseca do material e indica o quão bem ele conduz eletricidade. Materiais com baixa resistividade são bons condutores (como a prata e o cobre), enquanto materiais com alta resistividade são maus condutores (como a borracha e o vidro). A relação entre essas grandezas é dada pela seguinte fórmula:

R = ρ * (L / A)

Onde:

  • R é a resistência elétrica (em ohms, Ω).
  • ρ é a resistividade (em ohm-metro, Ω·m).
  • L é o comprimento do condutor (em metros, m).
  • A é a área da seção transversal (em metros quadrados, m²).

O ponto crucial aqui é entender que a resistividade varia com a temperatura. Geralmente, para a maioria dos metais (como a prata), a resistividade aumenta à medida que a temperatura aumenta. Isso significa que, à medida que o fio de prata esquenta, ele se torna um pouco menos eficiente em conduzir eletricidade, ou seja, sua resistência aumenta. Vamos aprofundar um pouco mais neste conceito. A variação da resistividade com a temperatura é normalmente linear, e podemos usar a seguinte fórmula para calcular essa variação:

ρ = ρ₀ * [1 + α * (T - T₀)]

Onde:

  • ρ é a resistividade na temperatura T (em Ω·m).
  • ρ₀ é a resistividade na temperatura de referência T₀ (em Ω·m).
  • α é o coeficiente de temperatura da resistividade (em °C⁻¹).
  • T é a temperatura final (em °C).
  • T₀ é a temperatura inicial (em °C).

Essas fórmulas são fundamentais para resolver o problema, e entender cada um dos seus componentes é crucial. Vamos continuar.

Passo a Passo: Calculando a Variação da Resistência

Agora que já revisamos os conceitos, vamos resolver o problema passo a passo. Primeiro, precisamos identificar as informações fornecidas e as que precisamos encontrar:

  • Comprimento do fio (L) = 5 km = 5000 m
  • Área da seção transversal (A) = 2 mm² = 2 x 10⁻⁶ m² (lembre-se de converter mm² para m² dividindo por 1.000.000)
  • Temperatura inicial (T₀) = geralmente, a temperatura ambiente, digamos, 20°C (isso pode variar, mas é uma boa estimativa).
  • Temperatura final (T) = 250°C
  • Material: Prata

Precisamos encontrar: A variação da resistência (ΔR).

Segundo, precisamos encontrar os valores da resistividade inicial (ρ₀) e do coeficiente de temperatura da resistividade (α) para a prata. Você pode encontrar esses valores em tabelas de propriedades dos materiais. Para a prata, os valores aproximados são:

  • ρ₀ ≈ 1.59 x 10⁻⁸ Ω·m (a 20°C)
  • α ≈ 0.0038 °C⁻¹

Terceiro, calcular a resistividade na temperatura final (ρ) usando a fórmula:

ρ = ρ₀ * [1 + α * (T - T₀)]

Substituindo os valores:

ρ = 1.59 x 10⁻⁸ Ω·m * [1 + 0.0038 °C⁻¹ * (250°C - 20°C)]
ρ = 1.59 x 10⁻⁸ Ω·m * [1 + 0.0038 °C⁻¹ * 230°C]
ρ = 1.59 x 10⁻⁸ Ω·m * [1 + 0.874]
ρ ≈ 1.59 x 10⁻⁸ Ω·m * 1.874
ρ ≈ 2.98 x 10⁻⁸ Ω·m

Quarto, calcular a resistência inicial (R₀) e a resistência final (R) usando a fórmula:

R = ρ * (L / A)
  • Resistência inicial (R₀):
R₀ = ρ₀ * (L / A)
R₀ = 1.59 x 10⁻⁸ Ω·m * (5000 m / 2 x 10⁻⁶ m²)
R₀ = 1.59 x 10⁻⁸ Ω·m * 2.5 x 10⁹ m⁻¹
R₀ ≈ 39.75 Ω
  • Resistência final (R):
R = ρ * (L / A)
R = 2.98 x 10⁻⁸ Ω·m * (5000 m / 2 x 10⁻⁶ m²)
R = 2.98 x 10⁻⁸ Ω·m * 2.5 x 10⁹ m⁻¹
R ≈ 74.5 Ω

Quinto, calcular a variação da resistência (ΔR):

ΔR = R - R₀
ΔR = 74.5 Ω - 39.75 Ω
ΔR ≈ 34.75 Ω

Portanto, a variação da resistência do fio de prata é de aproximadamente 34.75 Ω.

Dicas e Considerações para o ENEM

Para se sair bem no ENEM, é importante lembrar de algumas coisas:

  • Conversão de unidades: Preste muita atenção nas unidades de medida e faça as conversões necessárias (mm² para m², km para m, etc.).
  • Fórmulas: Tenha as fórmulas principais na ponta da língua e saiba como usá-las. Anote em um formulário básico de física.
  • Coeficiente de Temperatura: Entenda que o coeficiente de temperatura (α) é específico para cada material. Ele indica o quanto a resistividade muda para cada grau Celsius de variação de temperatura.
  • Dilatação Térmica: No enunciado, foi especificado que a dilatação térmica seria desprezada. Mas, se o problema considerasse a dilatação, seria preciso levar em conta a variação do comprimento e da área da seção transversal. A dilatação linear é dada por:
ΔL = L₀ * α * ΔT

e a dilatação superficial (área) é dada por:

ΔA = A₀ * β * ΔT

onde β ≈ 2α.

  • Aproximações: Em alguns casos, você pode precisar fazer algumas aproximações nos cálculos para facilitar. Por exemplo, arredondar valores.

Em resumo, calcular a variação da resistência com a temperatura envolve entender os conceitos de resistência, resistividade e coeficiente de temperatura, além de aplicar as fórmulas corretamente e prestar atenção nas unidades. Com um pouco de prática, você estará pronto para resolver qualquer problema sobre o assunto no ENEM. Boa sorte nos estudos!

Conclusão e Próximos Passos

Então, pessoal, o cálculo da variação da resistência em um condutor de prata nos leva por um caminho interessante da física. Vimos como a temperatura afeta a resistividade e, consequentemente, a resistência do fio. Dominar esses conceitos é crucial para entender circuitos elétricos e outros fenômenos relacionados. Para fixar o conteúdo, sugiro que vocês:

  • Resolvam outros exercícios sobre o tema.
  • Explore as aplicações práticas dessa física no nosso dia a dia, como em resistores e termistores.
  • Revisem os conceitos de corrente elétrica, tensão e potência.

Se tiverem alguma dúvida, deixem nos comentários! Até a próxima!